Здесь я собираю мысли, материалы и сохраненки, связанные с этой прекрасной книгой.

Мне тоже не дают покоя абстракции, умеющие самоприменяться:

Важнейшим для этого доказательства было понятие "самоприложения", важнейшим для него было неизбежное переплетение сообщения и его носителя, порождающее новую, невиданную доселе никем структуру. Эта абстрактная структура, как мне казалось, и была ключом к загадке самосознания и возникновения "я".

Деятельность как проявление любви:

Только в начале 1998 года у меня появилась мысль перевести весь роман. "Зачем?" - можете вы спросить. "Зачем переводить книгу, которая уже была переведена так хорошо, как только возможно?". Мой ответ прост: это делается из любви. И любовь эта как раз и рождается из восхищения другими переводами. Таким образом, один переводчик вдохновляется другим на тот же самый труд не из-за соперничества, но из чистого восхищения. То же самое происходит и с музыкой вы слышите запись великого музыканта, играющего какое-либо произведение, и оно вам так нравится, что вы хотите сыграть его сами. Играя, вы отдаете должное тому исполнителю, чья игра заставила вас влюбиться в эту музыку. Так случилось и со мной, восхищенным слушателем пушкинского шедевра в гениальном исполнении Фалена.
М. К. Эшер "Водопад" 1961
М. К. Эшер "Подъем и спуск" 1960
В концепции Странных Петель скрыта идея бесконечности, ибо что такое Петля, как не способ представить бесконечный процесс в конечной форме?
Критский философ Эпименид был автором бессмертного суждения: "Все критяние - лжецы". В более прямой форме парадокс звучит так: "Я лгу" или "Это высказывание - ложь". ... Это суждение грубо нарушает обычное представление о том, что все суждения делятся на истинные и ложные, так если мы на минуту представим, что оно истинно, то тут же увидим, что мы ошиблись, и на самом деле оно ложно.
Идея заставить математику заняться "самоанализом" оказалась необычайно продуктивной: теорема Гёделя о неполноте, пожалуй, самое важное ее следствие.

Теорема Гёделя:

Каждому w-непротиворечивому рекурсивному классу формул k соответствует рекурсивный символ классов r такой, что ни v Gen r ни Neg (v Gen r) не принадлежат к Flg(k), где v - свободная переменная.

Или другими словами:

Все непротиворечивые аксиоматические формулировки теории чисел содержат неразрешимые суждения
Ни одна аксиоматическая система не может породить все истинные высказывания теории чисел, если она не является противоречивой.

Немного офигительных историй про Чарльза Баббаджа

Первым человеком, понявшим, какой огромный счетный потенциал заключают в себе машины, был лондонец Чарльз Баббадж (Charles Babbage, 1792-1871), фигура, словно сошедшая со страниц "Пиквикского клуба". При жизни он был известен более всего тем, что вел энергичные кампании по очистке Лондона от "нарушителей спокойствия", в первую очередь шарманщиков.
Эти паразиты любили подразнить Баббаджа и исполняли для него "серенады" в любой час дня и ночи, а он, в ярости, гнал их вдоль по улице. Сегодня признаем, что Баббадж был человеком, обогнавшим свое время лет на сто, он не только изобрел основные принципы современных компьютеров, но и был первым борцом за охрану окружающей среды от шума.
Чарльз Баббадж
Баббадж представлял себе числа, влетающие и вылетающие из "фабрики" под контролем некоторой программы, содержащейся в перфорированных картах - на эту идею его натолкнул ткацкий станок Жаккара, изготовлявший при помощи подобных карт удивительно сложные узоры.
Баббадж, сказавший однажды, что он с радостью отдал бы остаток жизни за возможность вернуться на три дня лет через пятьсот, чтобы получить возможность ознакомиться с наукой будущего, возможно, потерял бы дар речи от удивления уже через сто лет после своей смерти, пораженный как новым машинами, так и их неожиданными ограничениями.

Автор предлагает к рассмотрению две формальные "типографские" системы. Перая MIU основана на сокращающих и удлиняющих правилах вывода и не гарантирует какого-то простого способа выяснить, является ли некая фраза (например MU) теоремой. Вторая pr система изоморфна сложению и имеет только удлиняющие правила. Автор показывает простой способ доказательства теорем, но дает понять, что изоморфизм сложению не является эквивалентностью сложению.

В системе pr есть некое свойство, позволяющее нам с уверенностью сказать, что данная система имеет разрешающий алгоритм, еще до того, что система не усложнена встречными укорачивающими и удлиняющими правилами; в ней имеются лишь удлиняющие правила. Любая формальная система, которая говорит нам, как получать более длинные теоремы из более коротких, но никогда не говорит нам обратного, должна иметь алгоритм разрешения для своих теорем.
По началу абстрактные символы неизбежно приобретают некое значение, по крайней мере, если мы находим какой-либо изоморфизм. Однако между значением в формальных системах и значением в языке есть важное различие. Различие это заключается в том, что, выучив значение какого-либо слова, мы составляем затем новые предложения, основанные на этом значении. В определенном смысле значение становится активным, так как оно порождает новые правила создания предложений... С другой стороны, в формальных системах теоремы предопределены правилами вывода.
Новая интерпретация ровно настолько же осмыслена, насколько и прежняя. Ясно, глупо спрашивать, какое из двух значений является истинным на самом деле. Любая интерпретация истинна, если только она аккуратно отражает определенный изоморфизм с действительностью. Когда какие-либо аспекты действительности (в данном случае, сложение и вычитание) изоморфны между собой, одна и та же система может быть изоморфна обоим аспектам и в результате иметь два пассивных значения. Тот факт, что одни и те же символы могут иметь различные значения, чрезвычайно важен. В нашем примере это могло показаться нам тривиальным, или любопытным, или вообще неинтересным; однако когда мы вернемся к этой теме в более сложном контексте, читатель увидит, какое богатство идей она заключает.
Все мы любим изобретать поговорки, которые, нарушая основные законы арифметики, иллюстрируют некие более глубокие "истины": "1 да 1 равно 1" (любовники) или "1 плюс 1 плюс 1 равно 1" (святая троица). Можно легко найти изъяны в подобных "формулах" - скажем, показав, что употребление знака "плюс" в них неверно. Так или иначе, подобных высказываний множество. По забрызганному дождем оконному стеклу сползают две капли; у самой рамы они сливаются в одну. Значит ли это, что 1 + 1 = 1? Из одного облака, рождаются два; не доказательство ли это той же идеи? Отличить случаи, в которых мы можем говорить о сложении, от тех, где нам нужно какое-то другое понятие, не так-то просто. Размышляя об этом, мы, возможно, додумаемся до таких критериев, как разделение объектов в пространстве и их четкое отличие друг от друга. Но как подсчитать идеи? И количество газов в атмосфере? Во многих источниках можно встретить высказывания типа: "В Индии 17 языков и 462 диалекта". В точных утверждениях такого рода есть нечто странное, так как сами понятия "язык" и "диалект" довольно расплывчаты.
М. К. Эшер "Освобождение" 1955

Работы Эшера